NAMA : JUNITA SIMANJUNTAK
KELAS : PAGI
JURUSAN : AKUNTANSI
A. APLIKASI INTEGRAL DALAM ILMU EKONOMI
Integral adalah
kebalikan dari proses diferensial. Integral ditemukan menyusul ditemukannya
masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berfikir bagaimana menyelesaikan
masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensial. Lambang integral adalah f
integral terdiri dua macam yaitu integral tak tentu dan
integral tertentu. Integral tak tentu nilai domainnya tidak ditentukan. Secara umum
penulisannya adalah
F(x) +
K =f 
f(x) dx
Dimana := Diferensial dari:
1. Fungsi asal
2. Konstanta yang nilainya tak tentu
Sedangkan integral tertentu nilai domainnya telah ditentukan, dan integral ini dapat digunakan untuk mengukur luas daerah yang tidak beraturan. Penulisan dari integral tertentu adalah :
Dimana := batas bawah integrasi
= batas atas integrasi
Penggunaan hitungan integral telah banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Seperti misalnya pada ekonomi dan teknik. Penerapan integral dalam bidang ekonomi seperti mencari surplus produsen dan surplus konsumen, yang menggunakan integral tertentu dengan cara ini adalah mengintegralkan fungsi penerimaan dan penawaran dengan harga atau batas tertentu. Selain itu, dengan menggunakan integral tak tentu dapat mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marjinal yang telah diketahui jumlahnya. Fungsi total ini dapat berupa fungsi biaya total, fungsi komsumsi dan fungsi tabungan.
· Penggunaan integral tak tentu
· Fungsi biaya total
Fungsi biaya total merupakan antiderivatif atau integral dari fungsi biaya marjinal (MC). Untuk mencari fungsi biaya total (TC) yaitu TC= f(Q) dengan mengintegralkan fungsi biaya marjinal. Jika MC = f(Q), maka :
TC = f f’ (Q) dQ = f MCdQ = F(Q) + K
AC = TC = F(Q)
Q Q
Contoh
Biaya marjinal suatu produk adalah hitung persamaan biaya total dan biaya rata – ratanya ?
Jawab : biaya total
Biaya rata – rata
Dimana = besarnya biaya tetap ( fix cost)
· Fungsi penerimaan total
Fungsi penerimaan marjinal (MR) adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (TR), maka fungsi penerimaan total dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi penerimaan marginal.
TR = f MR Dq = F (Q) + K
AR = TR = f(Q)
Q Q
Contoh
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan total dan penerimaan rata rata dari perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 20- 8 Q
Penerimaan total : R = fMRdQ
= f (20 – 8Q)Dq
= 20Q – 4 Q2
Penerimaan rata rata : AR=R=20 – 2Q
Q
Didalam persamaan penerimaan total, konstanta K= 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
· Fungsi utilitas
Utilitas sendiri dalam ilmu ekonomi dapat diartikan sebagai jumah dari kesenangan atau kepuasan relatif (gratifikasi) yang dicapai.
Utilitas total : U = F(Q)
Utilitas marjinal ; MU = U’ = du= F’ (Q)DQ
Utilitas total adalah integral dari utilitas marjinal:
U=f MU DQ= f F’ (Q) DQ
Contoh
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
Marjinalnya MU = 12-9 Q!
Utilitas total : U= f MR d Q
=f(12 – 9Q) d Q
= 12Q – 3 Q2
Seperti halnya produk total, disinipun konstanta K=0, sebab tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh jika tak ada barang yang dikonsumsi
· Fungsi produksi
Produk total : P = F(x)
Dimana P= keluaran
X = masukan
Produk marjinal : MP=P=dp= f’ (x) dx
Produk total adalah produk marjinal
P= f MP dx = f F’ (QX) dx
Produk marjinal sebuah perusahaan ditunjukkan oleh MP=X – 3 X2 carilah persamaan produk total dan produk rata ratanya.
Produk total :P = f MP d Q
= f(18x – 3x2) d X
= 9X2 – X3
Produk rata rata : AP= 9X – X2
Dalam persamaan produk total juga kontanta k=0, sebab tidak akan ada barang (p) yang dihasilkan jika tidak ada bahan (x) yang diolah atau digunakan
· Fungsi komsumsi dan tabungan
1. Fungsi komsumsi
C= f MPCdY = F(Y) + K
Dimana K= konsumsi minimum jika pendapatan Y= 0
2. Fungsi tabungan
S= f MPSdY= F(Y) + K
Dimana K = tabungan negatif (dissaving) jika pendapatan y=0
Konstanta K pada fungsi konsumsi dan tabungan masing masing adalah autonomous consumption atau autonomous saving.
Contoh
Carilah fungsi komsumsi dan tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui C1/2 Dy + C, bila pendapatan = 0 dan komsumsi autonomsnya adalah 50.
Jawab
C = fMPCdY = f 1/2Y +50
S = Y – ( ½ Y +50)
= Y – 50 – ½ Y
S = ½ Y – 50
Atau S= Y – C
S = f MPS dy
= f ½ dy
= ½ y – 50
Analisa dari perhitungan diatas dapat kita ketahui bahwa fungsi komsumsi adalah
C = ½ Y +50,
Fungsi tabungan adalah
S= ½ Y – 50
· Penggunaan integral tertentu
· Surplus konsumen
Surplus konsumen adalah suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati konsumen, berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.
Fungsi permintaan P= F(Q) merupakan jumlah barang yang akan dibeli pada harga tertentu. Sehingga kemampuan membeli konsumen >equilibrum ( keseimbangan )
Contoh
Fungsi permintaan adalah Qd = 75 – 3p2 , berapakah surplus konsumen jika harga pasar P=2
Jawab
Qd = 75 -3P2 jika p = 2
Qe = 75 – 3(22)
=75 – 3.4
=75 – 12
=63
Jadi (Pe, Qe) = (2,63)
Cs =2 f5 F(p). Dp
=2f5 (75 – 3P2) dp
= 75p – P3 I 52
= (75.5 – 53) – ( 75.2 – 23)
=(375 – 125) – (150-8)
=250 – 142
=108
· Surplus produsen
Keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya.
(kesanggupan menjual < harga pasar)
Contoh
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing masing ditunjukkan dengan fungsi sebagai berikut :Qd = 30 – 2p dan Qs = -6 + p.
Hitunglah surplus produsennya
Jawab
Cs = [Qe. Pe ] – [6 f0f(Q) d Q]
=[12.6] – [6f0 (Q +6)d Q ]
=(72) – (½ Q2 +6Q I 06)
=(72) – { (½ .62 + 6.6) – ( ½ .02 + 6.0)}
=72 – 54 = 18
Integral juga digunakan untuk menghitung : Momen inesia, volume, luas,titik berat yang semuanya digunakan sebagai alat bantu dalam merancang kekuatan / ketahanan suatu bangunan.
A. Persamaan penerimaan total dan rata rata
Penyelesaian
Penerimaan total R= F(Q)
Penerimaan marjinal :MR + R’ =F(Q)
Penerimaan total tidak lain adalah integral dari penerimaan marginal
C ={MR d Q ={F’ (Q) d Q
MR= 16 – 4Q
R= {MR d Q
=[16 – 4Q} d Q
=16Q – 2Q^2
Penerimaan rata rata :AR+ 16 – 2 Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta K= 0 sebab penerimaan akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
