TUGAS MANDIRI 05 MATEMATIKA EKONOMI KAMPUS MILENIAL ITBI

 

NAMA                 : JUNITA SIMANJUNTAK

KELAS                : PAGI

JURUSAN           : AKUNTANSI

 

 

A. APLIKASI INTEGRAL DALAM ILMU EKONOMI

IKASI INTEGRAL DALAM I

Integral adalah kebalikan dari proses diferensial. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berfikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensial. Lambang integral adalah fintegral terdiri dua macam yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu nilai domainnya tidak ditentukan. Secara umum penulisannya adalah

F(x)  +  K  =f f(x) dx

Dimana       := Diferensial dari:

1.   Fungsi asal

2.   Konstanta yang nilainya tak tentu

Sedangkan integral tertentu nilai domainnya telah ditentukan, dan integral ini dapat digunakan untuk mengukur luas daerah yang tidak beraturan. Penulisan dari integral tertentu adalah :

Dimana := batas bawah integrasi

        = batas atas integrasi

Penggunaan hitungan integral  telah banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Seperti misalnya pada ekonomi dan teknik. Penerapan integral dalam bidang ekonomi seperti mencari surplus produsen dan surplus konsumen, yang menggunakan integral tertentu dengan cara ini adalah mengintegralkan fungsi penerimaan dan penawaran dengan harga atau batas tertentu. Selain itu, dengan menggunakan integral tak tentu dapat mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marjinal yang telah diketahui jumlahnya. Fungsi total ini dapat berupa fungsi biaya total, fungsi komsumsi dan fungsi tabungan.

·         Penggunaan integral tak tentu

·         Fungsi biaya total

Fungsi biaya total merupakan antiderivatif atau integral dari fungsi biaya marjinal (MC). Untuk mencari fungsi biaya total (TC) yaitu TC= f(Q) dengan mengintegralkan fungsi biaya marjinal. Jika MC = f(Q), maka :

TC = f f’ (Q) dQ = f MCdQ = F(Q) + K

AC = TC = F(Q)

Q       Q

Contoh

Biaya marjinal suatu produk adalah hitung persamaan biaya total dan biaya rata – ratanya ?

Jawab : biaya total

Biaya rata – rata

Dimana = besarnya biaya tetap ( fix cost)

·         Fungsi penerimaan total

Fungsi penerimaan marjinal (MR) adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (TR), maka fungsi penerimaan total dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi penerimaan marginal.

TR = f MR Dq = F (Q) + K

AR = TR = f(Q)

Q       Q

Contoh

Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan total dan penerimaan rata rata dari perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 20- 8 Q

Penerimaan total : R = fMRdQ

= f (20 – 8Q)Dq

= 20Q – 4 Q2

Penerimaan rata rata : AR=R=20 – 2Q

Q

Didalam persamaan penerimaan total, konstanta K= 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

·         Fungsi utilitas

Utilitas sendiri dalam ilmu ekonomi dapat diartikan sebagai jumah dari kesenangan atau kepuasan relatif (gratifikasi) yang dicapai.

Utilitas total : U = F(Q)

Utilitas marjinal ; MU = U’ = du= F’ (Q)DQ

Utilitas total adalah integral dari utilitas marjinal:

U=f MU DQ= f F’ (Q) DQ

Contoh

Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

Marjinalnya  MU = 12-9 Q!

Utilitas total           : U= f MR d Q

=f(12 – 9Q) d Q

= 12Q – 3 Q2

Seperti halnya produk total, disinipun konstanta K=0, sebab tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh jika tak ada barang yang dikonsumsi

·         Fungsi produksi

Produk total : P = F(x)

Dimana P= keluaran

X = masukan

Produk marjinal : MP=P=dp= f’ (x) dx

Produk total adalah produk marjinal

P= f MP dx = f F’ (QX) dx

Produk marjinal sebuah perusahaan ditunjukkan oleh MP=X – 3 X2 carilah persamaan produk total dan produk rata ratanya.

Produk total       :P = f  MP d Q

= f(18x – 3x2) d X

= 9X2 – X3

Produk rata rata : AP= 9X – X2

Dalam persamaan produk total juga kontanta k=0, sebab tidak akan ada barang (p) yang dihasilkan jika tidak ada bahan (x) yang diolah atau digunakan

·         Fungsi komsumsi dan tabungan

1.     Fungsi komsumsi

C= f MPCdY = F(Y) + K

Dimana K= konsumsi minimum jika pendapatan Y= 0

2.    Fungsi tabungan

S= f MPSdY= F(Y) + K

Dimana K = tabungan negatif (dissaving) jika pendapatan y=0

Konstanta K pada fungsi konsumsi dan tabungan masing masing adalah autonomous consumption atau autonomous saving.

Contoh

Carilah fungsi komsumsi dan tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui C1/2 Dy + C, bila pendapatan = 0 dan komsumsi autonomsnya adalah 50.

Jawab

C = fMPCdY = f 1/2Y +50

S = Y – ( ½ Y +50)

   = Y – 50 – ½ Y

S = ½ Y – 50

Atau S= Y – C

S = f MPS dy

  = f ½ dy

   = ½ y – 50

Analisa dari perhitungan diatas dapat kita ketahui bahwa fungsi komsumsi adalah

C = ½ Y +50,

Fungsi tabungan adalah

S= ½ Y – 50

·         Penggunaan integral tertentu

·         Surplus konsumen

Surplus konsumen adalah suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati konsumen, berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.

Fungsi permintaan P= F(Q) merupakan jumlah barang yang akan dibeli pada harga tertentu. Sehingga kemampuan membeli konsumen >equilibrum ( keseimbangan )

Contoh

Fungsi permintaan adalah Qd = 75 – 3p2 , berapakah surplus konsumen jika harga pasar P=2

Jawab

Qd = 75 -3P2                  jika p = 2

Qe = 75 – 3(22)

=75 – 3.4

=75 – 12

=63

Jadi (Pe, Qe) = (2,63)

Cs =2 f5 F(p). Dp

=2f5 (75 – 3P2) dp

= 75p – P3 I 52

= (75.5 – 53) – ( 75.2 – 23)

=(375 – 125) – (150-8)

=250 – 142

=108

 

·         Surplus produsen

Keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya.

(kesanggupan menjual < harga pasar)

Contoh

Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing masing ditunjukkan dengan fungsi sebagai berikut :Qd = 30 – 2p dan Qs = -6 + p.

Hitunglah surplus produsennya

Jawab

Cs = [Qe. Pe ] – [6 f0f(Q) d Q]

=[12.6] – [6f0 (Q +6)d Q ]

=(72) – (½ Q2 +6Q I 06)

=(72) – { (½ .62 + 6.6) – ( ½ .02 + 6.0)}

=72 – 54 = 18

Integral juga digunakan untuk menghitung : Momen inesia, volume, luas,titik berat yang semuanya digunakan sebagai alat bantu dalam merancang kekuatan / ketahanan suatu bangunan.

 

A.          Persamaan penerimaan total dan rata rata

Penyelesaian

Penerimaan total R= F(Q)

Penerimaan marjinal :MR + R’ =F(Q)

Penerimaan total tidak lain adalah integral dari penerimaan marginal

C ={MR d Q ={F’ (Q) d Q

MR= 16 – 4Q

R= {MR d Q

=[16 – 4Q} d Q

=16Q – 2Q^2

Penerimaan rata rata :AR+ 16 – 2 Q

Dalam persamaan penerimaan total konstanta K= 0 sebab penerimaan akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.